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不確実性下の意思決定とは

意思決定理論 (decision theory) は、「よりよい意思決定」を追究する学問領域です。

ここで意思決定とは、**「ある状況下で、複数の選択肢から１つの選択を行うこと」**という定義をします。

起こりうる状況を $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots , x_N)$ 、取りうる選択肢を $\mathbf{y} = (y_1, y_2, \dots , y_M)$ と書くことにすれば、意思決定とは $\mathbf{x}$ と $\mathbf{y}$ の要素の組み合わせのことです。

例えば、ある状況 $x_i$ の下で $y_j$ という選択を行う場合、その意思決定の定量的な結果 (consequence) は

$$ c_{ij} = f(x_i, y_j) $$

のように $x$ と $y$ の関数で表現できます。

特に、$\mathbf{x}$ がどの状況になるかどうかが不確かで決定的でない場合（確率的にしか判断できない場合）の意思決定問題のことを「**不確実性下の意思決定 (decision making under uncertainty)」**と呼びます。

この記事で数理的な深入りはしませんが、意思決定理論は、この $c_{ij}$ の期待値の最大化を考えるような理論です。

意思決定と情報量

なにかを意思決定するとき、情報の存在は非常に重要です。例えば、来年のコロナウイルスの再拡大リスクを評価したい場合に、

1. 特に新たな変異株の報告は出てきていないとき
2. 新たな変異株が南アフリカで発生したという事実がわかったとき
3. オミクロン株の感染力・毒性が定量的に判明したとき

という３つの状況を考えれば、1 → 2 → 3 の順に情報量が増え、より精度の高い予測、意思決定ができるようになります。

意思決定理論において、情報量は**「不確実性の減少量」として定量的に定義できます。情報の不確実性は情報エントロピー** ($H$) とも呼ばれる量で、$x_i$ という状況になる確率を $P(x_i)$ とすれば、

$$ H(\mathbf{x}) = - \sum_{i=1}^{N} P(x_i) \log_2{P(x_i)} $$

という式で表されます。$H(\mathbf{x})$ は不確実性を表す量なので、意思決定の参考になる情報が何もない状態のときに最大値を取ります。